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Analisi matematica I

  • insegnamento Insegnamento: ANALISI MATEMATICA I
  • Crediti: 9
  • Codice: 15663
  • Anno off. Formativa: 2014/2015
  • Corso di laurea: ingegneria industriale (l-9) (deim)
  • Sett.Scient.: MAT/07
  • Docente: Carlo  CATTANI
Programma
INSIEMI NUMERICI
Insiemi e logica: operazioni tra insiemi, operazioni logiche, proprietà delle operazioni, leggi di De Morgan, predicati e proposizioni, sillogismi e tautologie. Numeri naturali, interi relativi, fattoriale di n, coefficienti binomiali e loro proprietà, formula di Newton, calcolo combinatorio. Principio di induzione. Numeri razionali, numeri reali e loro proprietà. Massimi e minimi, estremo superiore e inferiore.

FUNZIONI ELEMENTARI
Radicali, potenze,logaritmi, proprietà regole, funzioni potenza e proprietà, funzioni esponenziali e proprietà, funzioni logaritmiche e proprietà, funzioni trigonometriche e proprietà, funzioni iperboliche e proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Funzioni composte e inverse, funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche inverse

ALGEBRA LINEARE
Spazi vettoriali su R^n. Vettori canonici, dipendenza a indipendenza lineare. Basi e dimensione. Prodotto scalere e prodotto vettoriale. Matrici: matrice trasposta, simmetrica, somma e differenza di matrici, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne e sue proprietà. Determinante: calcolo attraverso la formula di Laplace e sue proprietà. Caratteristica di una matrice. Calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari: risoluzione di sistemi n*n con la regola di Cramer. Sistemi omogenei. Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari. Immagine e nucleo di una trasformazione. Sistemi generali rettangolari. Teorema di Rouché-Capelli. Autovalori e autovettori (cenni).

GEOMETRIA
Equazioni parametriche e cartesiane e vettoriali di rette e piani. Versore normale. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Trasformazione del sistema di coordinate per traslazione e rotazione. Trasformazione da coordinate cartesiane a polari. Coniche, classificazione delle coniche. Coniche degeneri.

NUMERI COMPLESSI
Rappresentazione di un numero complesso in forma algebrica, geometrica e trigonometrica; opposto, reciproco, coniugato, e modulo di un numero complesso; proprietà; operazioni tra numeri complessi; formula di De Moivre; rappresentazione esponenziale e formule di Eulero; radici n-esime e loro interpretazione grafica; equazioni algebriche in C.

SUCCESSIONI
Convergenza e divergenza, teoremi di confronto, operazioni con i limiti, forme indeterminate, monotonia, numero di Nepero e limiti notevoli.

SERIE
Successione delle somme parziali, serie a termini positivi, serie armonica e geometrica, condizione necessaria di convergenza, criterio del confronto, del rapporto, della radice, del confronto asintotico. Serie telescopiche. Serie a segno alterno, assoluta convergenza, criterio di Leibniz.

LIMITI E CONTINUITA’ PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE
Concetto di funzione, dominio, argomento, codominio, operazioni tra funzioni, composizione, parità e disparità. Funzioni composte. Limiti e proprietà. Limiti notevoli. Stime asintotiche. Continuità e teoremi sulle funzioni continue Monotonia, massimi e minimi. Asintoti. Grafici di funzioni elementari.

DERIVATE
Rapporto incrementale, Interpretazione geometrica della derivata. Derivata delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Limite della derivata e derivabilità. Teorema di Rolle, Cauchy. Teorema di Lagrange o del valore medio.
Applicazioni delle derivate: punti critici e di flesso, monotonia, concavità e convessità. Il teorema di de l’Hopital. Studio del grafico di una funzione.
Il concetto di differenziale. Differenziale e approssimazione lineare. Il simbolo "o piccolo". Applicazioni al calcolo dei limiti. Formula di Taylor-MacLaurin con resto di Peano e con resto di Lagrange. Sviluppo in serie di Taylor-MacLaurin delle funzioni. Soluzione approssimata di un’equazione con il metodo di Newton. Soluzione approssimata di un’equazione con il metodo delle secanti (cenni).

INTEGRALI
Integrale come limite di somme. Definizione di integrale. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, primitive e calcolo degli integrali indefiniti e definiti. Integrali immediati per scomposizione, per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione delle funzioni trigonometriche. Integrazione delle funzioni irrazionali. Integrali generalizzati (cenni). Equazioni differenziali a variabili separabili. Condizioni iniziali.

MODELLI DISCRETI

Equazioni lineari del prim’ordine a coefficienti costanti. Equazioni autonome non lineari. Orbite, diagrammi a gradino e punti fissi di equilibrio. Punti fissi e stabilità. Equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine. Equazioni omogenee. I numeri di Fibonacci. Equazioni non omogenee. Metodo della verosimiglianza.

Testi consigliati
-Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Bramanti-Pagani-Salsa, Zanichelli (ed. 2014)
- Dispense del docente
Propedeuticità
Frequenza
facoltativa
Metodologia didattica
Ore Lezioni: 72
Valutazione del profitto
Prova scritta
prova orale
Descrizione dei metodi di accertamento
L'esame consistera' in una prova scritta e in una prova orale. L'ammissione alla prova orale prevede il superamento della prova scritta con una valutazione complessivamente soddisfacente
Luogo lezioni
Via S. Camillo De Lellis Blocco E, Piano T Aula Magna
Orari delle lezioni
Lunedì ore 11,00-14,00; Martedì ore 9,00-12,00
Orari di ricevimento
Carlo CATTANI:
Martedi dalle 11 alle 13
Prossime date di Esame
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